Центр тяжести n-угольника и деление его площади пополам

[Ivan.Rybin]

не знаю куда лучше, но к Науке (математика) мой вопрос точно относится.

Итак, есть задача - разделить площадь выпуклого n-угольника пополам прямой линией. Возник вопрос - для произвольного (неправильного) выпуклого n-угольника эта прямая будет проходить через его центр тяжести?

нужен ТОЧНЫЙ ответ, ещё лучше - строчка из учебника\справочника, варианты "вроде да" или "вроде нет" не годятся!

[Aragaer]

Пункт номер раз - линия, разделяющая на две равные по площади куски через центр проходить не обязана. Даже для выпуклого многоугольника. Доказать наверно проще на примере... Возьмем равнобедренный (но неравносторонний) треугольник. Центр тяжести - точка пересечения медиан. Пусть для красоты треугольник прямоугольный. Чтобы в цифрах понятнее было. Вершины - (0,0), (0,1) и (1,0). Медианы пересекаются в точке (1/3, 1/3). (считать нетрудно. y=x - уравнение медианы на гипотенузу, а y=1-2x - на нижний катет). А теперь поищем наверно какую-нибудь линию, которая нам разделит треугольник на две половинки... пусть она будет параллельна гипотенузе. Возьмем простенький интегральчик
Интеграл по высоте - площадь полоски соответствующей махонькой трапеции. От 0 до t (проекция высоты на ось х. Ищем координаты точки пересечения с нашей линией. Будет (t,t)) *прикидывает длину* 2^1.5x. Площадь - соответственно на dx. И приравниваем интеграл волшебному числу 0.25 (площадь всего треугольника - одна вторая. Половина - четверть). Считаем... Получаем уравнение (2^.5)t^2 = 0.25 очевидно, что на 1/3 это не похоже...

Если я где чего напутал - просьба высказывать не таясь.

Пункт два - собственно о задаче. Я бы поступил так - взял бы вершину и провел все возможные диагонали из нее. Получилось бы много треугольников. Затем все, кроме одного, отнес бы в "левую" или "правую" половину. Остался бы один треугольник, в котором нужно провести линию, которая поделит _весь_ многоугольник пополам. Ну это будет уже интеграл по углу между этй линией и вершиной, из которой мы ее провододим (той самой, откуда мы брали диагонали). И интеграл считать до тех пор, пока между кусками треугольника не будет разность в то число, насколько у нас отличаются уже набранные "левая" и "правая" половинки.

Может стоит это все пояснить на рисунке?

[Ivan.Rybin]

Уже всё сдал - спасибо!

[Aragaer]

По дате первого сообщения можно было понять, что проблема относилась к сессии

Но всегда интересно занять себя чем-то абстрактно-математическим.