Народ помогите пожалуйста с решением задачи , с пространством многочленов Pn !!!!

[dimaz]

Пусть L - множество многочленов степени не выше 2 , удовлетворяющих условию p(1)+p'(1)+p"(1)=0. Доказать, что L - линейное подпространство в пространстве P2. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.






Пусть L - множество многочленов степени не выше 2 , удовлетворяющих условию p(0)+p(1)+p(2)=0. Доказать, что L - линейное подпространство в пространстве P2. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

[Shurik]

Все свойства линейного пространства выполняется - лёгкая проверка. Например, если p(1)+p'(1)+p''(1)=0 и q(1)+q'(1)+q''(1)=0, то для r=p+q также r(1)+r'(1)+r''(1)=0.

Пусть p(x)=ax^2+bx+c, тогда p(1)+p'(1)+p''(1)=5a+2b+c. Отсюда p - элемент L <=> 5a+2b+c=0, или любой элемент L имеет вид p(x)=ax^2+bx-5a-2b. Подставив, например, a=1, b=0 и a=0, b=1, получим x^2-5 и x-2 - два линейно-независимых вектора из L. Поскольку размерность P2 равна 3, а L != P2, то размерность L равна 2 и указанные многочлены - его базис. Размерность дополнения равна 3-2=1, его базис x.

Ответ: dim L=2, dim P2\L = 1, L=<x^2-5,x-2>, P2=<x^2-5,x-2,x>.

[dimaz]

Большое спасибо =)